24 декабря 2015

Оптимизация при фиксированном бюджете

Проектирование современных конкурентоспособных технических изделий невозможно без применения методов оптимизации. Более того, помимо получения оптимального изделия, обеспечивающего наилучшие значения критериям качества и отвечающего всем требованиям эксплуатации и работоспособности, важно отыскать его как можно в короткие сроки.

Как правило, на этапе проектирования вместо еще несуществующего изделия оперируют некой расчетной моделью. Современной практикой является использование различных систем автоматизированного проектирования (CAD/CAE) для построения таких расчетных моделей (рисунок 1). В условиях все нарастающей сложности проектируемых изделий, растет сложность разрабатываемых моделей. Качество оптимального изделия зависит от точности используемой расчетной модели. При этом, чем сложнее и выше точность расчетной модели, тем больше ресурсов и времени требуется для ее расчета. Инженер вынужден искать компромисс между качеством разрабатываемой модели и временем необходимым для поиска оптимальной конфигурации.

Рисунок 1. Расчетная модель

В этой связи, для сокращения времени проектирования часто используют менее точные, но более простые и поэтому менее требовательные к вычислительным ресурсам суррогатные (или аппроксимационные) модели. Для каждого критерия оптимальности и ограничения строят свою модель. В качестве обучающего множества используют данные, полученные в результате численного эксперимента с тяжелыми (в смысле долгого времени счета), но более точными расчетными моделями. Стоит отметить, что иногда по тем или иным причинам не удается построить модель на основе базовых принципов предметной области. В таких ситуациях используют данные физического эксперимента.

Алгоритмическое ядро pSeven предлагает широкий выбор методов и средств для построения аппроксимационных моделей: начиная от обычных полиномов (RSM) [5], заканчивая моделями, базирующимися на теории гауссовских процессов (kriging) [5]. Однако инженеру не стоит беспокоиться о том, какой именно метод стоит использовать: реализованная в pSeven технология SmartSelection позволяет автоматически выбирать наиболее подходящий метод для конкретной задачи.

Как только суррогатная модель построена, инженер может использовать ее для того, чтобы провести детальное исследование проектируемого изделия, а также решать задачи оптимизации.

Наиболее часто используемый прием (обозначим его Approx+Optimizer) заключается в следующем.

1) На первом этапе строят суррогатные модели для каждого выходного параметра модели (рисунок 2). Каким образом выбрать точки для аппроксимации? В программном комплексе pSeven реализованы различные техники планирования эксперимента (DOE) [6]. Наиболее распространенным является метод генерации выборки на основе латинских гиперкубов (LHS) [6]. Число точек, как правило, определяется вычислительными ресурсами, которыми располагает инженер. Принято говорить, пользователь устанавливает бюджет или число вызовов тяжелой расчетной модели (N). На этом этапе точки, как правило, генерируются без учета функциональных ограничений на входные и выходные параметры модели. 

Рисунок 2. Построение суррогатной модели

2) Далее решают исходную задачу оптимизации (рисунок 3). Для вычисления значений критериев оптимальности и функций ограничений используют суррогатные модели.

3) Наконец после того как найдено оптимальное решение, полученная конфигурация проходит валидацию на исходной более точной расчетной модели (рисунок 3).

Рисунок 3. Оптимизация с использованием суррогатной модели

Достоинством данного подхода является его простота. Инженер имеет возможность явно указывать допустимый для него бюджет.  Если у него уже имеются данные, полученные на этапе исследования исходной модели, то он может их непосредственно использовать для построения суррогатной модели. Однако основной недостаток данного подхода заключается в следующем: существует вероятность того, что найденное оптимальное решение после валидации окажется недопустимым с точки зрения удовлетворения ограничениям.  Непонятно какое решение в этой ситуации следует выбрать в качестве оптимального. Более того, сложно предложить инженеру какие-либо рекомендации, позволяющие при следующем запуске всего итерационного процесса (п.1-п.3) заведомо получить допустимый оптимальный результат. Как будет показано ниже, не всегда увеличение размерности обучающего множества не гарантирует получение допустимого решения.

Альтернативой данного подхода является глобальный метод оптимизации SBO (Surrogate-Based Optimization), разработанный специалистам компании DATADVANCE в тесном сотрудничестве с Институтом Проблем Передачи Информации РАН. Детали этого метода можно найти на нашем сайте [1-3]. Важно, что найденное методом SBO оптимальное решение всегда будет удовлетворять всем ограничениям задачи.

Упомянутая выше технология SmartSelection в pSeven также позволяет автоматически выбирать наиболее подходящий метод для решения конкретной задачи оптимизации. Данный выбор реализуется на основе информации о постановке задачи и дополнительных параметрах (Hints). Например, если пользователь указывает, что критерии оптимальности и/или ограничения являются вычислительно дорогими (Evaluation cost type: Expensive), то в этом случае автоматически будет выбран метод SBO (рисунок 4).

Рисунок 4. GUI блока Optimizer

Программная реализация метода SBO в pSeven также позволяет использовать уже имеющиеся у инженера предварительно подсчитанные конфигурации. Их необходимо передать на порт designs блока Optimizer (рисунок 5) в следующей последовательности: значения варьируемых параметров, целевых функций и ограничений.

Рисунок 5. Порты блока Optimizer

Важно, что метод SBO не имеет цели построить точную модель, метод самостоятельно ищет компромисс между точностью модели и числом обращений к тяжелой расчетной модели. Поэтому метод имеет процедуры автоматической оценки требуемого бюджета на основе числа варьируемых параметров, целевых функций и функций ограничений. В тоже время у пользователя так же есть возможность установить этот бюджет самостоятельно.

Алгоритмическая реализация метода SBO (это верно и для всех других методов, реализованных в pSeven), позволяет в процессе итераций учитывать линейные ограничения относительно варьируемых (входных) параметров модели. Другими словами, все генерируемые точки будут удовлетворять этим ограничениям. Более подробно об этом будет рассказано в наших следующих заметках, следите за обновлениями на нашем сайте.

Работоспособность этих двух подходов продемонстрирована при решении однокритериальной задачи оптимизации быстровращающегося диска, являющегося элементом конструкции газотурбинного двигателя (рисунок 6). Две расчетные модели этого диска, реализованные на основе аналитических формул, а также с использованием SolidWorks и ANSYS, вы можете найти в разделе Examples стандартной поставки pSeven. Здесь же, а также на нашем сайте [4], вы можете ознакомиться с подробной постановкой задачи оптимизации. Кратко, в задаче необходимо минимизировать массу диска (mass, кг) при варьировании 6 геометрических параметров. При этом диск должен удовлетворять двум ограничениям: прочностное ограничение – максимальные напряжения в конструкции (smax 600 МПа), условие сборки – радиальное перемещение (umax 0.3 мм). Отметим, рассматриваемый пример не претендует на исчерпывающее исследование эффективности двух подходов. Этот пример носит лишь демонстрационный характер.

Рисунок 6.  Геометрическая модель диска в SolidWorks и поля напряжений в ANSYS

Таблица 1. Результаты экспериментов

Рисунок 7. Результаты экспериментов

(красным маркером в виде окружности обозначены недопустимые решения «infeasible solutions»)

Итак, при решении данной задачи подход Approx+Optimizer находил конфигурации с меньшей массой, чем метод SBO. Однако после валидации большинство из полученных решений (N<230) оказались недопустимыми, то есть нарушают как минимум одно ограничение. Данные решения обозначены красным цветом в таблице 1 и на рисунке 7. Этот факт объясняется тем, что выделенного бюджета недостаточно для построения точных моделей для целевой функции и функции ограничений. По этой же причине (малого бюджета) метод SBO достиг наилучшего решения только при N=230. Именно это значение бюджета выбрано методом автоматически. Однако во всех экспериментах решения, полученные методом SBO, являются допустимыми. Более того, в результатах SBO прослеживается тенденция улучшения оптимального решения с увеличением бюджета.

Таким образом, на данной задаче при больших значениях N оба подхода позволяют получить хороший результат. Ещё раз подчеркнем, что рассматриваемый пример не претендует на исчерпывающее исследование эффективности двух подходов, и носит лишь демонстрационный характер.

Источники

  1. DATADVANCE - pSeven Core Documentation - GT Opt - Surrogate-Based Optimization
  2. DATADVANCE Blog - Tech Tips - SBO algorithms for expensive functions optimization
  3. DATADVANCE Blog - Tech Tip - Notes on surrogate-based optimization
  4. DATADVANCE - pSeven Core - Generic Tool for Sensitivity and Dependency Analysis (GT SDA)
  5. DATADVANCE - pSeven Core - Generic Tool for Approximation (GT Approx)
  6. DATADVANCE - pSeven Core - Generic Tool for Design of Experiment (GT DoE)

 

Динара Шварц, Инженер-расчетчик, DATADVANCE

LinkedIn
VK

Заинтересовало решение?

Нажмите, чтобы запросить бесплатную 30-дневную демоверсию.

Запросить демо